Александр Сладковский родился в 1965 году в Таганроге. Окончил Московскую консерваторию имени П.И. Чайковского и Санкт-Петербургскую консерваторию имени Н.А. Римского-Корсакова по классу оперно-симфонического дирижирования. В 1997 году дебютировал в Государственном театре оперы и балета Санкт-Петербургской консерватории с оперой Моцарта "Так поступают все женщины". Одновременно занял пост руководителя симфонического оркестра Государственной академической капеллы Санкт-Петербурга. В 1999 году был удостоен II премии III Международного конкурса дирижеров имени С.С. Прокофьева в Санкт-Петербурге (I премия не присуждалась), разделив ее с Туганом Сохиевым.
Сладковский участвовал в крупных музыкальных фестивалях и акциях: "Музыкальный Олимп", "Петербургская музыкальная весна", "Крещендо", "Площадь искусств" Юрия Темирканова, Всероссийский конкурс оперных певцов Ирины Богачевой, "Родион Щедрин. Автопортрет" Шлезвиг-Гольштейнский фестиваль, Веймарский фестиваль искусств, Young Euro Classic (Берлин). В мае 2001 года в Эрмитажном театре Санкт-Петербурга Сладковский дирижировал концертом в честь визита Ее Величества Королевы Нидерландов Беатрикс, а в мае 2003 года выступал на торжественном открытии фонтанов Петродворца в рамках празднования 300-летия Санкт-Петербурга, в присутствии глав 46 государств.
Дирижер постоянно сотрудничает с Российским национальным оркестром и ГСО "Новая Россия", выступает с ГАСО России имени Е.Ф. Светланова, БСО имени П.И. Чайковского, коллективами Санкт-Петербургской, Московской, Ульяновской, Томской и Ростовской филармоний, оркестром Sinfonica Siciliana (Палермо), Дрезденским и Белградским филармоническими оркестрами, коллективами Нижней Саксонии и Будапештской Национальной оперы. С 2001 по 2003 гг. - главный дирижер Государственного театра опера и балета Санкт-Петербургской консерватории. В 2003 году был номинирован на премию "Золотой софит" как лучший дирижер года. Заслуженный артист России (2005).
Среди партнеров Сладковского - солисты международного класса: пианисты Николай Луганский, Юрий Розум, Константин Лифшиц, Игорь Четуев, скрипачи Виктор Третьяков, Алена Баева, Назар Кожухарь, Граф Муржа, виолончелисты Александр Князев, Александр Рудин, валторнист Аркадий Шилклопер, вокалисты Роберто Аланья, Монтсеррат Кабалье, Любовь Казарновская, Ирина Богачева, Владимир Маторин, Зураб Соткилава.
Значительное место в репертуаре дирижера занимает музыка современных композиторов. В 2003 году Сладковский провел мировую премьеру Симфонии № 3 Александра Чайковского в Большом зале Московской консерватории. Одним из важнейших событий недавнего времени с участием маэстро стала мировая премьера Концерта для альта и виолончели с оркестром Алексея Рыбникова (солисты Юрий Башмет и Борис Андрианов) в рамках II Международного виолончельного фестиваля в Москве.